基础背景和概念

整除

  • 整除 若整数a除以非零整数b,商为整数,且余数 为零, 我们就说a能被b整除(或说b能整除a),a为被除数,b为除数,即b丨a(“丨”是整除符号),读作“b整除a”或“a能被b整除”。a叫做b的倍数,b叫做a的约数(或因数)。
  • 被2整除数的特征 个位上的数能被2整除(偶数0,2,4,6,8都能被2整除),那么这个数能被2整除。
  • 被3、9整除数的特征 各个数位上的数字和能被3或9整除,那么这个数能被3或9整除。
  • 被5整除的数的特征 个位上为0或5的数都能被5整除,那么这个数能被5整除。
  • 被4、25整除的数的特征 个位和十位所组成的两位数能被4或25整除,那么这个数能被4或25整除。
  • 被6整除的数的特征 各数位上的数字和能被3整除的偶数,如果一个数既能被2整除又能被3整除,那么这个数能被6整除。
  • 被8、125整除的数的特征 如果一个数的末三位数能被8或125整除,那么,这个数就一定能被8或125整除.
  • 被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
  • 被7、11、13整除的数的特征 (适用于数字位数在三位以上)一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(大数减小数),如果能被7、11、13整除,那么,这个多位数就一定能被7、11、13整除.

知识点讲解

例题讲解

  • 两个整除的经典例题在这里讲解一下。大学后的一天,小亮和爸爸共同步测一个圆形花园的周长,他俩的起点和方向完全相同,小量的步长试54厘米,爸爸的步长是72厘米,若干不后,两人都恰好走完一圈。由于脚印有重合,走完一圈后,雪机上恰好留下了60个脚印,一求花园的周长。那么这60个脚印有的是爸爸留下的,有的是小亮留下的,还有的是爸爸走过,然后小亮踩着爸爸的脚印走的,他会有重合的地方,我们就看一下重合会在哪里,就说他们起点是一样的,那么重复的地方,一定是爸爸也走到那个地方,小亮也走到那个地方。所以说重合的位置一定是它的长度一定是54的倍数,大概也是72的倍数一。我们来找一下54个72的最小公倍数,那么最小公倍数就说他有这么长时间,I就会一重合一次,有这么长时间就会重复一次,所以这里面它有一个周期的问题,我们去研究它的一个周期里面会留下多少个脚印,然后看着60个脚印是多少周期留下的。那么看看一个周期是多长,那么根据来求花园的周长,我们画一个图,看一下,你看第一个是我们假设他们是分两次走的,第一次是爸爸走的,在第一个周期里面就五十四七十二,他的一个最小公倍数是216。当爸爸走完三步的时候,从A点起点儿,爸爸走完散步的时候,他到达B点,那么他就说他走了216厘米。 好,那么它他走在216厘米,它留下了四个脚印,接下来小小亮的跟着他后面走,他也从二点起点,那么他走的是绿色的叉叉,利他的角度比较短一些,那么他A它也走到了B这216厘米,它一步是54厘米,所以它走了四不。也就是说MNOB那么在这一个周期里面,就216厘米里面小量它其实走的是五,不父亲走的是四,不,那么这里面就是说A和B点他们两个都做不到,所以A和B是他们是重复的脚印。那么在这一个周期里面,我们看看父亲的脚步,就是儿子着少量就是AMNOB这样子。所以在一个周期里面,那么它留下的脚印是几个,我们到起点A是留下的,MCNDO都是留下的,然后比作为下一个周期的起点。我们在这里面既一个周期的时候,GA到O那么这是六个脚印,B是下一个周期的起点,因为他是一个圆圈。好,那么这里面就是AMCMODO六个脚印,就在一个周期里面,他们会留下六个脚印,他一共是留下了60个脚印,这样我们就可以看出来,他们两个人走了十个这样的周期,一个周期是216厘米,整个周期就是说二一十六乘以十就可以了,这是2×160厘米,他们测出来的整个花园的周长就是2160啊厘米这样子!例题二,有类似的上海共青森林公园有一行小树,第一棵到最后一刻的距离是90米,原来每三米有一棵小树,31改成5米1克,有几棵小树不用挪动,他这个也是一样的,原来是3米1克的,现在感悟米一克,如果说这个长度他是三的倍数也是五的倍数的话,那么他就说原来三米这里有一棵小树,然后改无效以的时候,那么他这一段也是五的倍数,所以说这个地方的手术是不需要动的。 我们就看一下三米和五米的公倍数里面,他是有一棵小树不用动,我们就看一下这一圈她一共是几个周期,这一周期里面是不是只有一棵树不用动?好,三和五的最小公倍数它是15,那么就看他15米里面我们怎么中的。这15米我们以前是三米中一个,那么看到是从零米到15米,这三米种一棵,ACDEFB这就是原来有的小树在这个位置。然后我们现在要重新重要五米科了,就是0米5米,1015米粉色的这个地方,粉色菱形的是我新中的,也就是说这里面的紫色的CDEF都是不需要了的,那么在这一个周期里面,A是留下来了,B也是留下来了不用动。好,同样的问题是说A是周期的起点,B我们把它作为下一个周期的起点,就不计算在第一个周期里面。所以这样看的话,15米里面也只有A是留下来的,那么A是不动的,就一个周期里面有一棵树是不用动的,我们知道一共是六个周期,那么它有六个起点,就是AB这样子六个起点。好,那么这六个起点我们知道还有最后的一个终点,因为他不是闭合的路径,所以他最后还有一个点,就是说最后一个周期的终点,他不是别人的起点,所以中间我们要算进去,这样的话它一共六个周期再加一个重点,那么就是七棵树是不用动的,这七棵树是不需要挪动的,我们现在种的棵树实际上是19课,七科不用一的话,那么有时二科是需要我做的

作业精选

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